Євген Березняк народився 25 лютого 1914 року в Катеринославі (Дніпропетровськ). Освіту здобув в педагогічному технікумі Зінов’євська (нині – Кіровоград). Зовсім молодим він вже вчителював у Кіровоградській та Дніпропетровській областях, в 20-річному віці став шкільним директором.
Після поділу Польщі та анексії Західної України восени 1939 року комуністична влада розпочала радянізацію нових територій. Крім колективізації та репресій це також означало витіснення панівної польської освіти. В новоутворених західних областях УРСР школи та вищі навчальні заклади переводили на українську мову, для цього масово залучали комсомольсько-партійний актив зі Східної України. Євген Березняк очолив Львівський міський відділ народної освіти. На цій посаді він розгорнув бурхливу діяльність з українізації. За його власними спогадами, у Львові на той час було 90 польських, 14 єврейських і лише 3 українські школи. Вже за рік українських шкіл нараховувалося 70. Шокована такою активністю впливова польська комуністка, депутат Верховної Ради СРСР Ванда Василевська написала на Березняка донос Сталіну зі скаргою, що молодий просвітянин «спотворює розуміння національної політики». Це не минуло даремно, бо з Москви до Львова прибула урядова комісія для розслідування обставин «зловживань». Можливо, для Березняка це завершилося б арештом, але почалася німецько-радянська війна і НКВД вже мав інші клопоти.
Євгена евакуювали до Дніпропетровська, а з наближенням німецьких військ залишили в місті для підпільної роботи. Понад два роки в окупації Березняк займався агітаційною роботою серед населення та проводив підривну роботу за завданням підпільного партійного осередку. Після вигнання нацистів з Дніпропетровська у грудні 1943 року його, вже досвідченого підпільника, призначили завідувачем сектору інформації Дніпропетровського обласного комітету партії.
На цивільній посаді Березняк працював недовго. Вже у січні 1944-го він став курсантом розвідувальної школи під Москвою. За півроку навчання Березняк опанував стрільбу з різних видів зброї, стрибки з парашутом, орієнтування на місцевості та шифрувальну справу. У липні того ж року розвідник прибув до штабу 1 Українського фронту, який дислокувався у Проскурові (нині – Хмельницький). На той час радянські війська завершували вигнання німців з території України, і фронтовому командуванню була вкрай необхідна достовірна розвідувальна інформація про угруповання противника на польській території.
Березняка призначили командиром диверсійно-розвідувальної групи «Голос», яка мала добути відомості про систему оборони німецьких військ на підступах до Кракова. У ніч з 18 на 19 серпня 1944 року розвідгрупа десантувалася на окупованій території. З самого початку місія «Голосу» опинилася на межі провалу: командира групи Березняка («Михайлова») заарештувало гестапо. Тільки завдяки щасливому збігові обставин йому вдалося втекти і приєднатися до підлеглих. «Голос» виконував бойове завдання в тилу ворога протягом 156 днів і за цей час не зазнав втрат. Групі вдалося повністю розвідати Краківський укріпрайон, зібрати і передати в штаб 1-го Українського фронту достовірну інформацію про дислокацію німецьких армій, корпусів, дивізій, повітряних ескадрилій.
Найвизначнішим досягненням «Голосу» стало виявлення німецького плану мінування Кракова, завдяки чому вдалося врятувати мешканців та унікальну середньовічну архітектуру міста. Пізніше за цей подвиг розвідник отримав найвищу відзнаку Польщі – орден «Віртуті Мілітарі».
Після завершення місії Євген Березняк доповів командуванню, що побував у полоні гестапо. Його запроторили у фільтраційний табір НКВД, де він і зустрів парад перемоги над Німеччиною. Навіть після завершення війни «органи» шукали доказів того, що Березняка завербували німецькі спецслужби. Проведені численні перевірки підтвердили невинуватість розвідника. Його відпустили на волю, але остаточно реабілітували лише в 1965 році.
В мирний час Березняк повернувся до педагогіки: обіймав посади у відділах народної освіти та в міністерстві освіти УРСР. Вже після проголошення незалежності, у 2001 році Березняка нагородили зіркою Героя України. Євген Березняк помер у Києві 23 листопада 2013 року, не доживши всього трьох місяців до свого сторічного ювілею.